Математический анализ

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <=

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d]

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, t>I(y)dy =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, t>K(t) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, t>df(x, y)dy/dy =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t(

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;g(y0), j(y0)>f(x, y)dx +

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;j(y0), j(y)>f(x, y)dx -

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R1, R2> как

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R1, inf> -

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>f(x)g(x)dx = g(a)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, ξ>f(x)dx + g(b)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, d>I(y)dy =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, p>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, d>f(x, y)dy =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, d>I(y)dy.

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, d>I(y)dy -

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, d>dy

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, p>f(x, y)dx =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, d>dy

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, d>I(y)dy =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d],

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d].

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>K(x)dx,

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, inf>f(x, y)dy =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, inf>dy

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, p>dy

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, p>dy

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, p>f(x, y)dy. Те |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, inf>f(x, y)dy -

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, p>dy

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>f(x, y)dx| =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, inf>dx(

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a:

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R1, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R1, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, R1>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;p, inf>f(x, y)dy +

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R1, inf>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;p, inf>f(x, y)dy <

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, R1>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf.

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <=

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2.

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>sinaxdx/x =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0;

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>t^xe^(-t)dt = -

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> +

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt +

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt,

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) *

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>du u^(x-1)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>du

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>dz

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>dze^(-z)z^(y-1) *

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <=

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п-x, п –x>f(t)dt =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п]

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>f(x)dx = lim<nàinf>

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj +

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, 0>Dn(t)dt = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того,

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0:

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>… +

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R\[-A, A]>… Оценим. |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <=

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3(

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0:

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием:

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>f(t)dt -

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>g(t)dt =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A:

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во:

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>dx

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования.

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A1, A2>f(u + t0)du

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>e^(ixu)dx =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>sinRudu/u = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u +

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R.

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-inf, -δ>sinRu/udu =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)).

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**),

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} =

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ:

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п

Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x, y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т. к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная - sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится. При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = - arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = - п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, - inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

Билет 7. Свойство Г-функции Эйлера.

Г(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Область сходимости: Около 0: t^(x-1)e^(-t) ~ t^(x-1) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t) сх-ся для любого x > 0. На бесконечности: |t^(x-1)e^(-t)| < e^(-t/2), при t >= t0(x) è $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)dt сходится для любого x. Те Г(x) определена при x > 0. Вычисление Г(n), n Є N. Г(1) = 1. Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = - $<0, inf>t^(x)de^(-t)= -(t^x)e^(-t)|<0, inf> + $<0, inf>xt^(x-1)e^(-t)dt => Г(x+1) = xГ(x). Те Г(n + 1) = n!. Непрерывность и бесконечная диф-мость Г(x), x > 0. Г(x) = $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)dt + $<1, inf>t^(x-1)e^(-t)dt. Покажем, что оба интеграла сходятся равномерно для любого [a, b], 0 < a < b < inf. |t^(x-1)e^(-t)| <= {t^(a-1)e^(-t), 0 < t <= 1; t^(b-1), t >= 1} сходится равномерно по Вейерштрассу. По Т4 Г(x) Є C(0, inf). d^k/dx^k(t^(x-1)e^(-t)) = (ln t)^kt^(x-1)e^(-t) Є C(0, inf). Чтобы использовать Т о диф-сти достаточно показать, что $<0, 1>t^(x-1)e^(-t)(lnt)^kdt, $<1, inf>… сходятся равномерно на любом отрезке [a, b], 0 < a < b< inf, k Є N è тогда по индукции и Т5 можно доказать, что Г(k)(x) = $<0, inf>t^(x-1)e^(-t)(lnt(^kdt. |t^(x-1)e^(-t)(lnt)^k| <= {t^(a-1)(e^(-t))|lnt|^k = t^(a-1)e^(-t)(-lnt)^k, 0 < t <= 1; t^(b-1)…, 1<= t < inf}. 1ый интеграл сходится, тк для достаточно малых t можно подобрать δ > 0: |t^(a-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^(a-1 – kδ), a – kδ > 0. Второй интеграл сходится, так как для достаточно больших t |t^(b-1)e^(-t)(lnt)^k| <= t^be^-t.

Билет 8. Свойство B-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.

B(x, y) = $<0, 1>t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ t^(x-1) около 0 è x > 0. t^(x-1)(1-t)^(y-1) ~ (1-t)^(y-1) около 1 è y > 0 è B(x, y) определена при x >0, y > 0. B(x, y) = B(y, x). {заместа s = 1-t}. B(x, y+1)/y = B(x + 1, y)/x. Док-во через интегрирование по частям. B(x, y + 1) = y/(x+y)B(x, y). Док-во: разбить B(x, y + 1) на B(x, y) – B(x + 1, y). Замена t = 1/(1+u), t Є (0, 1) è 0 < t < inf, dt = - du/(u+1)^2. B(x, y) = $<+inf, 0>(1/(u+1))^(x-1)(u/(u+1))^(y-1)(-du)/(u+1)^2 = $<0, inf>u^(y-1)du/(1+u)^(x+y) можно менять в силу симметричности. B(x, y) = Г(x)Г(y)/Г(x + y). Док-во: 1) докажем для случая x > 1, y > 1. B(x, y)Г(x + y) = $<0, inf>du u^(x-1)/(1+u)^(x+y) * $<0, inf>dte^(-t)t^(x+y-1) = (можно представить как повторный интеграл функции) = $<0, inf>du u^(x-1) $<0, inf>dt/(1+u)e^(-t)(t/[1+u])^(x+y-1) = {x = t/(u + 1), t = z(1 + u), z Є (0, inf)} = $<0, inf>du$<0, inf>dz * u^(x-1)e^(-z)e^(-uz)z^(x + y -1) = порядок интегрирования можем поменять по Т7 = $<0, inf>dz $<0, inf>du u^(x-1)e^(-z)e^(-uz) z^(x+y-1) = $<0, inf>dze^(-z)z^(y-1) * $<0, inf>dh h^(x-1)e^(-h) = Г(y)Г(x). Теперь можем доказывать при x > 0, y >0. B(x, y) = (x+y)/xB(x+1, y) = [(x+y)/x](x+y + 1)/yB(x + 1, y+1). ЧТД.

Билет 9. Асимптотическая формула для функции Г(x + 1) при xàinf.

Г(x+1) = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1+a(x)), где lim<xàinf>a(x) = 0. При x = n! получим формулу Стирлинга. Док-во: Г(x + 1) = $<0, inf>t^xe^(-t)dt = {t = x(q+1), q = 1 – t/x, -1 < q < inf} = $<-1, inf>x^x(q+1)^xe^(-x(q+1))xdq = (x/e)^xx$<-1, inf>e^(-x(q – ln(q + 1)))dq. План: q – ln(q+1) = u^2/2 и выразить dq через du. Пусть h(q) = 1 – 1/(q+1) = q/(q+1) è h(t) – имеет единственный минимум в 0. lim<qà-1+0>h(q) = inf, lim<qàinf>h(q) = inf. Пусть u(q) = sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1)) тогда h(q) = u^2/2, -inf<u<inf. u’(q) = {sgn(u)(sqrt<2>(2h(u))))’ = sqrt<2>(2)sgn(q)h’(q)/[2sqrt<2>(h(q))] > 0, при q ≠ 0; lim<qà0>sgn(q)sqrt<2>(2(q – ln(q+1))/q = lim<qà0>sqrt<2>(q^2 + O(q^3))/|q| = 1 > 0}. Раз производная u’(q) существует, то q – ln(q + 1) = u^2/2 диф-ма по q. Диф-ем q/(q+1) = udu/dq è при q ≠ 0 dq/du = u(q+1)/q = u + u/q. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ln(q + 1) = q + q^2/[2(1 + Oq)^2], 0 < O = O(q) < 1. Те получили, что u^2/2 = q – ln(q + 1) = [q^2/2](1/[1+Oq]^2) è так как sgn u = sgn q, 1+ Oq > 0 è [u = q/(1+Oq)] è [1 + Oq]u = q è u/q = 1 – Ou (q ≠ 0). При q = 0 du/dq = 1 è dq/du = 1 è формула тоже справедливо. Те dq/du = 1 + (1 – O)q^4. Те мы имеем dq/du = 1 + (1 – O)q при –inf<u < inf. Теперь делаем оценку Г(x + 1) = (x/e)^xx$<-1, inf>e^[(-x)(q-ln(q + 1))]dq = (x/e)^xx$<-inf, inf>e^[-xu^2/2][1 + (1-O)u]du. 1) $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)dy = {s = usqrt<2>(x/2)} = sqrt<2>(2/x)sqrt<2>(п). 2) |$<-inf, inf>e^(-xu^2/2)(1-O)udu| <= $<-inf, inf>e^(-xu^2/2)|u|du = 2/x. Значит проверяемый интеграл = sqrt<2>(2пx)(x/e)^x(1 + a(x)), |a(x)| <= 2/sqrt<2>(2пx) à 0, xà inf. ЧТД.

Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L à (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0 ó x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L à ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0 è x = 0. Пространство называется почти нормированным, еслиУтверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R è (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0 è D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2 è ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<nàinf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 à <nàinf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f, hi) = 0 для любого i ó f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f, hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0 è f = 0. ЧТД.

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, - п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<nàinf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<nàinf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п] è тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.

Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) à<nàinf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In à <nàinf>à0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<nàinf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = - kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b] è f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)| è |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п] è |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] è… Если x1, x2 Є [-2п, п] è… Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2nà<x Є R>à0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt à 0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая è |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt| à 0, In3àxЄ Rà 0 è существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.

Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<tà0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0) è |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2) è f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1 è 1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п] è |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3 à 0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt àxЄRà0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f - 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)à<x0 Є R>à0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) àxЄRà0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) ààf1(x), Sn (f2-f1, x)àà0 è Sn(f2, x)ààf1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).

Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xàinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t) è (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y è существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)] è |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: - A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xàinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Ràinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v. p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0 è существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0 è cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R) è по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Ràinf>h(u)sin(Ru)du = 0 è I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydyà<Ràinf>à0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a, b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δà0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = - e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

lt;-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].